Osservando attentamente la fig.1, che mostra le 16 possibili combinazioni disponendo 8 triangolini a formare un quadrato, si osserva che alcune sono ottenibili una dall'altra semplicemente ruotando la figura attorno al centro del quadrato.

1. Quali sono?
2. Di quanti gradi è stata ruotata attorno al centro una figura rispetto all'altra? 
3. A quante si riducono le possibili combinazioni se si escludono quelle ottenute per rotazione?

fig. 2

fig. 1

Per aiutarti nel dare le risposte puoi riferirti ai numeri indicati nel quadrato di fig.2.

Elettra, Benedetta, Chiara, Tommaso B., Stefano, Marco, Marina, Lorenzo, Tommaso L., Lapo e Giorgio hanno trovato che sono 6 le possibili combinazioni se si escludono quelle ottenute per rotazione. Infatti la 2, la 3 e la 4 si ottengono per rotazione della 1; la 6, la. 7 e la 8 dalla rotazione della 5; la 10, la 11 e la 12 dalla rotazione della 9 e la 4 dalla rotazione della 3.

Come trovare le possibili combinazioni dei triangolini che compongono il quadrato senza ricorrere al disegno?

Ecco l'idea di Elettra, Marina e Elena Sofia!

In ogni quadratino che compone il quadrato grande si disegna sempre una diagonale che può essere in due modi: arancione se va verso il centro, gialla se non ci va. Chiamiamo M i quadratini con le diagonali arancioni convergenti nel centro del quadrato grande e E i quadratini con diagonali gialle non convergenti. Poiché ogni quadrato grande è composto da 4 quadrati piccoli le possibili combinazioni sono:

MMMM - MMME- MMEM - MEMM- EMMM  - EMEM - EEEE     - EEEM  -  EEME   - EMEE - MEEE -  MEEM - EMME - MEME - MMEE - EEMM 

Ecco l'idea di Francesco!

Ogni quadrato è diviso in 4 quadratini che indico con le lettere A,B,C,D. I quadratini con le diagonali convergenti rosse li indico con il numero 0 e quelli con le diagonali blu non convergenti con il numero 1.

In una tabella riporto tutte le possibili combinazioni che corrispondono ai numeri da 0 a 15 nel sistema binario.

Così facendo procedo in modo ordinato senza correre il rischio di saltare qualche combinazione!

Prendi in considerazione il quadrato formato da 8 triangoli.
1. In quanti modi diversi si possono disporre i triangoli al suo interno?
Fai un'ipotesi e poi passa a realizzare tutti i possibili disegni.
2. La tua ipotesi si è rivelata giusta?
3. Ricerca un procedimento teorico che possa permetterti di individuare il numero delle possibili combinazioni senza realizzare i disegni.

Complimenti a:

Francesco

Marina

Elena Sofia

Elettra

Benedetta

che rapidamente hanno individuato il numero complessivo di combinazioni (16) e realizzato i relativi disegni.

Marina

Elettra

Elena Sofia

Francesco

Aspetto la stesura dei procedimenti teorici che qualcuno stamani ha individuato ed ha esplicitato oralmente!

• Qual è il numero maggiore di quadrati concentrici che si possono disegnare seguendo le linee del reticolo?(Prima fai un'ipotesi, poi disegnali nel reticolo e infine realizza il disegno con Geogebra)
• Da quanti triangolini è formato ciascun quadrato?
• Quanti assi di simmetria ha il disegno che hai realizzato?

ECCO ALCUNI DEI NOSTRI DISEGNI!

I quadrati sono composti rispettivamente da: 

8,16, 32, 64 

triangolini.

Il quadrato più piccolo è la metà della metà della metà del quadrato più grande; in termini matematici:

1/2 x 1/2 x 1/2 x 64 = 1/8 x 64 = 8

Il quadrato più grande è doppio del doppio del doppio del quadrato più piccolo; in termini matematici:

2 x 2 x 2 x 8= 8 x 8 = 64

Ecco il disegno realizzato da Martina con GEOGEBRA:

Gli assi di simmetria sono 4 come mostra il disegno sottostante:

Quanti quadrati di dimensioni diverse riesci ad individuare all'interno del reticolo?

Benedetta, Elettra e Tommaso B. hanno data la risposta giusta, cioè 8. Benedetta e Elettra hanno inoltre realizzato i disegni dei quadrati all'interno del reticolo.

Elettra

Benedetta

I quadrati sono rispettivamente composti da: 

2   4    8    16   18   32   36    64  

triangolini

Ed eccone molti altri ancora!!!

Questa volta, oltre ai cubi, ci sono anche i parallelepipedi.
Oggi ci siamo soffermati ad osservare che la superficie del cubo è 3/4 di quella del reticolo ovvero che il rapporto fra la superficie del cubo e quella del reticolo è 3/4.

1. Qual è il.rapporto fra la superficie del parallelepipedo e quella del reticolo?
2. Qual è il rapporto fra la superficie del cubo e quella del parallelepipedo?

La superficie del parallelepipedo è di 40 triangolini su 64 dell'intero reticolo, quindi il rapporto fra la superficie del parallelepipedo e quella del reticolo è 5/8.

Complimenti a quanti sono stati capaci di realizzare un cubo piegando opportunamente il reticolo senza eseguire tagli della carta!!!!!

Ogni faccia del cubo contiene 8 triangolini, quindi la superficie dell'intero cubo ne contiene 48 su un totale di 64 dell'intero reticolo.