Osserva la seguente figura:

1. Qual è il rapporto fra il lato del quadrato più piccolo e quello del quadrato più grande?
2. Qual è il rapporto fra l'area del quadrato più piccolo e l'area del quadrato più grande?
3. Se attribuisci al lato del quadrato più grande il valore di 1 unità, quali valori assumono i lati degli altri  quadrati progressivamente più piccoli? Immagina di continuare la sequenza oltre i quadrati disegnati. Come prosegue?
4. Se attribuisci all'area del quadrato grande il valore di 1 u^2, quali valori assumono le aree degli altri quadrati progressivamente più piccoli? Immagina di continuare la sequenza oltre i quadrati disegnati. Come prosegue?

In classe è emerso che:

Il rapporto fra il lato del quadrato più piccolo e quello più grande è 1/4 e il rapporto fra l'area del quadrato più piccolo e quella del più grande è 1/16

Tommaso B. ha notato che 1/16 è uguale a (1/4)^2

In molti hanno individuato, con strategie diverse, la successioni dei numeri che esprimono le aree e quella dei numeri che esprimono le misure dei lati.

Non ci resta che metterle a confronto!

5. Quale delle precedenti modalità sceglieresti per esprimere l'area del 400esimo quadrato? Perché? Quanto misura?

Tutti avete escluso la prima modalità e la maggior parte di voi ha scelto la terza e la quarta perché con esse è più rapido il calcolo richiesto.

6. Quale delle precedenti modalità sceglieresti per esprimere la lunghezza del lato del 15esimo quadrato? Perché? Quanto misura?

Tutti avete escluso la prima modalità e la modalità preferita è stata la quarta.


Il seguenti disegni realizzati con Geogebra, rispettivamente da Francesco, Elettra e Lorenzo, mettono in relazione la misura delle aree (Y) con quella dei lati (X) dei nostri quadrati:

Il seguente disegno realizzato con il foglio elettronico (Excel) rappresenta la medesima relazione del precedente:

Una divagazione artistica!

L'autore è Josef Albers (1888-1976)
“Omaggio al quadrato” (serie cominciata nel 1949), è fatta da semplici quadrati ripetuti e sovrapposti, colorati con diverse tonalità che creano un effetto ottico di profondità.

1. Ha qualche attinenza con il nostro lavoro?

Prendi in considerazione il quadrato formato da 32 triangoli.
In quanti modi puoi disporli al suo interno? Giustifica la tua risposta.

Dalla discussione di stamani è emerso che le possibili combinazioni sono 2^16

Prendi in considerazione il quadrato formato da 16 triangoli.

1. In quanti modi diversi si possono disporre i triangoli al suo interno? Giustifica la tua risposta.

Complimenti a Marina e Martina per il loro lavoro paziente!

Utilizzando il metodo individuato da Francesco hanno trovato, utilizzando un foglio elettronico, che le possibili combinazioni sono ben 256.

  

                      

Riflettendo sui risultati ottenuti:

Quadrato con 2 triangoli = 1 quadratino = 2 combinazioni

Quadrato con 8 triangoli = 4 quadratini = 16 combinazioni

Quadrato con 16 triangoli = 8 quadratini = 256 combinazioni

abbiamo espresso le possibili combinazioni con le potenze del due:

2= 2^1

16=2^4

256=2^8

Ma Francesco fa una giusta riflessione che viene riportata  sotto il disegno. Bravo!

Si nota che i 16 triangoli  non si dispongono a due a due a formare  8 quadrati congruenti, bensì 4 (come in quello precedente) più 8 triangoli disposti sempre in un'unica modalità , per cui le possibili combinazioni continuano ad essere quelle individuate per il quadrato precedente, ovvero 16 riconducibili a 6.