- Qual è il rapporto fra il lato del quadrato più piccolo e quello del quadrato più grande?
- Qual è il rapporto fra l'area del quadrato più piccolo e l'area del quadrato più grande?
- Se attribuisci al lato del quadrato più grande il valore di 1 unità, quali valori assumono i lati degli altri quadrati progressivamente più piccoli? Immagina di continuare la sequenza oltre i quadrati disegnati. Come prosegue?
- Se attribuisci all'area del quadrato grande il valore di 1 u^2, quali valori assumono le aree degli altri quadrati progressivamente più piccoli? Immagina di continuare la sequenza oltre i quadrati disegnati. Come prosegue?
In classe è emerso che:
Il rapporto fra il lato del quadrato più piccolo e quello più grande è 1/4 e il rapporto fra l'area del quadrato più piccolo e quella del più grande è 1/16
Tommaso B. ha notato che 1/16 è uguale a (1/4)^2
In molti hanno individuato, con strategie diverse, la successioni dei numeri che esprimono le aree e quella dei numeri che esprimono le misure dei lati.
Non ci resta che metterle a confronto!
5. Quale delle precedenti modalità sceglieresti per esprimere l'area del 400esimo quadrato? Perché? Quanto misura?
Tutti avete escluso la prima modalità e la maggior parte di voi ha scelto la terza e la quarta perché con esse è più rapido il calcolo richiesto.
6. Quale delle precedenti modalità sceglieresti per esprimere la lunghezza del lato del 15esimo quadrato? Perché? Quanto misura?
Tutti avete escluso la prima modalità e la modalità preferita è stata la quarta.
Il seguenti disegni realizzati con Geogebra, rispettivamente da Francesco, Elettra e Lorenzo, mettono in relazione la misura delle aree (Y) con quella dei lati (X) dei nostri quadrati:
Il seguente disegno realizzato con il foglio elettronico (Excel) rappresenta la medesima relazione del precedente:
Tutti avete escluso la prima modalità e la maggior parte di voi ha scelto la terza e la quarta perché con esse è più rapido il calcolo richiesto.
6. Quale delle precedenti modalità sceglieresti per esprimere la lunghezza del lato del 15esimo quadrato? Perché? Quanto misura?
Tutti avete escluso la prima modalità e la modalità preferita è stata la quarta.
Il seguenti disegni realizzati con Geogebra, rispettivamente da Francesco, Elettra e Lorenzo, mettono in relazione la misura delle aree (Y) con quella dei lati (X) dei nostri quadrati:
Il seguente disegno realizzato con il foglio elettronico (Excel) rappresenta la medesima relazione del precedente:
Se l'area del quadrato grande è formata da 64 triangolini e quella del quadrato successivo più piccolo è formato da 32 triangolini, si nota che l'area del secondo quadrato più grande è la metà
RispondiEliminadel quadrato più grande.
Quindi se all'area del quadrato grande diamo il valore di 1, per trovare il secondo quadrato più grande faremo la metà:
A(1)=1
A(2)=1/2=0,5
A(3)=0,5/2=0,25
A(4)=0,25/2=0,125
A(5)=0,125/2=0,0625
...
Bene le aree, adesso calcola le misure dei lati!
EliminaSapevamo che il lato del quadrato più grande , ovvero quello da 64 triangolini, è di 1 u. il quesito da lei proposto era quello di calcolare il lato e l'area degli altri quadrati:
RispondiElimina- 1° l. 1u.- A. 1 u2;
- 2° l. 0,25u. - A. 0,5 u2;
- 3° l. 0,0625u. - A. 0,25 u2;
- 4° l. 0,03125u - A. 0,125 u2;
- 5° l. 0,015625u. - A. 0,625 u2;
- 6° l. 0,0078125u - A. 0,3125 u2;
- 7° l. 0,00390625u - A. 0,15625 u2;
- 8° l. 0,0009765625u - A. 0,078125 u2;
- 9° l. 0,000244140625u - A. 0,0390625 u2;
- 10° l. 0,00006103515625u - A. 0,01953125 u2 ............................
Possiamo quindi dedurre che :
-per calcolare i lati dei vari quadrati, sapendo che il rapporto a 2 a 2 è di 1/4 , bisogna dividere per 4 1 , poi per quattro il risultato ottenuto ecc....
-per calcolare l'area , sapendo che l'area di un quadrato è la metà del precedente , dobbiamo dividere per 2 1 e i vari risultati.
Bene le aree, ma non i lati!
EliminaL'area del quadrato più grande (64 triangolini) è il doppio dell'area del quadrato successivo (32 triangolini). La stessa cosa succede ai quadrati più piccoli che seguono. Quindi, se l'area del quadrato grande è 1, quella del quadrato successivo è la metà (1/2) e quella del quadrato che segue sarà 1/4 di quella del quadrato di partenza e così via. Per trovare il lato, si calcola la radice quadrata dell'area.
RispondiEliminaA1= 1
A2=0.50 l. 0,707
A3=0.25 l. 0.50
A4=0.125 l. 0.3535
A5=0.0625 l. 0.25
A6=0.03125 l. 0.1767
A7=0.015625 l. 0.125
A8=0.0078125 l. 0.0883
A9=0.0039062 l. 0.06249
A10= 0.0019531 l. 0.04419