Anno scolastico 2014/15

1. Ricerca monumenti di forma ellittica e più in generale opere d'arte che contengono al loro interno elementi ellittici. 
2. Ricerca in natura forme e movimenti ellittici. 
3. Disegna l'ellisse con Geogebra. 
4. Ricerchiamo e analizziamo le proprietà dell'ellisse. 

Ponte Santa Trinita- Firenze

Colosseo-Roma

Triangoli isoperimetrici

1. Quali tipi di triangoli si possono individuare? 
2. Quale proprietà  hanno in comune i triangoli?
3. Cosa non si conserva nel passare da un triangolo all'altro? 
4. Quali sono i casi limite? 
5. Quali proprietà di massimo o di minimo possiedono?

1. Quali proprietà hanno i punti della curva?
2. Quali proprietà ha la curva?

Tangente all'ellisse

Riflessione della luce

Costruzione di un'ellisse a partire da una circonferenza

Guardate questa interessante applicazione:

https://phet.colorado.edu/sims/my-solar-system/my-solar-system_en.html

Osserva la seguente figura:

1. Qual è il rapporto fra il lato del quadrato più piccolo e quello del quadrato più grande?
2. Qual è il rapporto fra l'area del quadrato più piccolo e l'area del quadrato più grande?
3. Se attribuisci al lato del quadrato più grande il valore di 1 unità, quali valori assumono i lati degli altri  quadrati progressivamente più piccoli? Immagina di continuare la sequenza oltre i quadrati disegnati. Come prosegue?
4. Se attribuisci all'area del quadrato grande il valore di 1 u^2, quali valori assumono le aree degli altri quadrati progressivamente più piccoli? Immagina di continuare la sequenza oltre i quadrati disegnati. Come prosegue?

In classe è emerso che:

Il rapporto fra il lato del quadrato più piccolo e quello più grande è 1/4 e il rapporto fra l'area del quadrato più piccolo e quella del più grande è 1/16

Tommaso B. ha notato che 1/16 è uguale a (1/4)^2

In molti hanno individuato, con strategie diverse, la successioni dei numeri che esprimono le aree e quella dei numeri che esprimono le misure dei lati.

Non ci resta che metterle a confronto!

5. Quale delle precedenti modalità sceglieresti per esprimere l'area del 400esimo quadrato? Perché? Quanto misura?

Tutti avete escluso la prima modalità e la maggior parte di voi ha scelto la terza e la quarta perché con esse è più rapido il calcolo richiesto.

6. Quale delle precedenti modalità sceglieresti per esprimere la lunghezza del lato del 15esimo quadrato? Perché? Quanto misura?

Tutti avete escluso la prima modalità e la modalità preferita è stata la quarta.


Il seguenti disegni realizzati con Geogebra, rispettivamente da Francesco, Elettra e Lorenzo, mettono in relazione la misura delle aree (Y) con quella dei lati (X) dei nostri quadrati:

Il seguente disegno realizzato con il foglio elettronico (Excel) rappresenta la medesima relazione del precedente:

Una divagazione artistica!

L'autore è Josef Albers (1888-1976)
“Omaggio al quadrato” (serie cominciata nel 1949), è fatta da semplici quadrati ripetuti e sovrapposti, colorati con diverse tonalità che creano un effetto ottico di profondità.

1. Ha qualche attinenza con il nostro lavoro?

Prendi in considerazione il quadrato formato da 32 triangoli.
In quanti modi puoi disporli al suo interno? Giustifica la tua risposta.

Dalla discussione di stamani è emerso che le possibili combinazioni sono 2^16

Prendi in considerazione il quadrato formato da 16 triangoli.

1. In quanti modi diversi si possono disporre i triangoli al suo interno? Giustifica la tua risposta.

Complimenti a Marina e Martina per il loro lavoro paziente!

Utilizzando il metodo individuato da Francesco hanno trovato, utilizzando un foglio elettronico, che le possibili combinazioni sono ben 256.

  

                      

Riflettendo sui risultati ottenuti:

Quadrato con 2 triangoli = 1 quadratino = 2 combinazioni

Quadrato con 8 triangoli = 4 quadratini = 16 combinazioni

Quadrato con 16 triangoli = 8 quadratini = 256 combinazioni

abbiamo espresso le possibili combinazioni con le potenze del due:

2= 2^1

16=2^4

256=2^8

Ma Francesco fa una giusta riflessione che viene riportata  sotto il disegno. Bravo!

Si nota che i 16 triangoli  non si dispongono a due a due a formare  8 quadrati congruenti, bensì 4 (come in quello precedente) più 8 triangoli disposti sempre in un'unica modalità , per cui le possibili combinazioni continuano ad essere quelle individuate per il quadrato precedente, ovvero 16 riconducibili a 6.

Osservando attentamente la fig.1, che mostra le 16 possibili combinazioni disponendo 8 triangolini a formare un quadrato, si osserva che alcune sono ottenibili una dall'altra semplicemente ruotando la figura attorno al centro del quadrato.

1. Quali sono?
2. Di quanti gradi è stata ruotata attorno al centro una figura rispetto all'altra? 
3. A quante si riducono le possibili combinazioni se si escludono quelle ottenute per rotazione?

fig. 2

fig. 1

Per aiutarti nel dare le risposte puoi riferirti ai numeri indicati nel quadrato di fig.2.

Elettra, Benedetta, Chiara, Tommaso B., Stefano, Marco, Marina, Lorenzo, Tommaso L., Lapo e Giorgio hanno trovato che sono 6 le possibili combinazioni se si escludono quelle ottenute per rotazione. Infatti la 2, la 3 e la 4 si ottengono per rotazione della 1; la 6, la. 7 e la 8 dalla rotazione della 5; la 10, la 11 e la 12 dalla rotazione della 9 e la 4 dalla rotazione della 3.

Come trovare le possibili combinazioni dei triangolini che compongono il quadrato senza ricorrere al disegno?

Ecco l'idea di Elettra, Marina e Elena Sofia!

In ogni quadratino che compone il quadrato grande si disegna sempre una diagonale che può essere in due modi: arancione se va verso il centro, gialla se non ci va. Chiamiamo M i quadratini con le diagonali arancioni convergenti nel centro del quadrato grande e E i quadratini con diagonali gialle non convergenti. Poiché ogni quadrato grande è composto da 4 quadrati piccoli le possibili combinazioni sono:

MMMM - MMME- MMEM - MEMM- EMMM  - EMEM - EEEE     - EEEM  -  EEME   - EMEE - MEEE -  MEEM - EMME - MEME - MMEE - EEMM 

Ecco l'idea di Francesco!

Ogni quadrato è diviso in 4 quadratini che indico con le lettere A,B,C,D. I quadratini con le diagonali convergenti rosse li indico con il numero 0 e quelli con le diagonali blu non convergenti con il numero 1.

In una tabella riporto tutte le possibili combinazioni che corrispondono ai numeri da 0 a 15 nel sistema binario.

Così facendo procedo in modo ordinato senza correre il rischio di saltare qualche combinazione!

Prendi in considerazione il quadrato formato da 8 triangoli.
1. In quanti modi diversi si possono disporre i triangoli al suo interno?
Fai un'ipotesi e poi passa a realizzare tutti i possibili disegni.
2. La tua ipotesi si è rivelata giusta?
3. Ricerca un procedimento teorico che possa permetterti di individuare il numero delle possibili combinazioni senza realizzare i disegni.

Complimenti a:

Francesco

Marina

Elena Sofia

Elettra

Benedetta

che rapidamente hanno individuato il numero complessivo di combinazioni (16) e realizzato i relativi disegni.

Marina

Elettra

Elena Sofia

Francesco

Aspetto la stesura dei procedimenti teorici che qualcuno stamani ha individuato ed ha esplicitato oralmente!

• Qual è il numero maggiore di quadrati concentrici che si possono disegnare seguendo le linee del reticolo?(Prima fai un'ipotesi, poi disegnali nel reticolo e infine realizza il disegno con Geogebra)
• Da quanti triangolini è formato ciascun quadrato?
• Quanti assi di simmetria ha il disegno che hai realizzato?

ECCO ALCUNI DEI NOSTRI DISEGNI!

I quadrati sono composti rispettivamente da: 

8,16, 32, 64 

triangolini.

Il quadrato più piccolo è la metà della metà della metà del quadrato più grande; in termini matematici:

1/2 x 1/2 x 1/2 x 64 = 1/8 x 64 = 8

Il quadrato più grande è doppio del doppio del doppio del quadrato più piccolo; in termini matematici:

2 x 2 x 2 x 8= 8 x 8 = 64

Ecco il disegno realizzato da Martina con GEOGEBRA:

Gli assi di simmetria sono 4 come mostra il disegno sottostante:

Quanti quadrati di dimensioni diverse riesci ad individuare all'interno del reticolo?

Benedetta, Elettra e Tommaso B. hanno data la risposta giusta, cioè 8. Benedetta e Elettra hanno inoltre realizzato i disegni dei quadrati all'interno del reticolo.

Elettra

Benedetta

I quadrati sono rispettivamente composti da: 

2   4    8    16   18   32   36    64  

triangolini

Ed eccone molti altri ancora!!!

Questa volta, oltre ai cubi, ci sono anche i parallelepipedi.
Oggi ci siamo soffermati ad osservare che la superficie del cubo è 3/4 di quella del reticolo ovvero che il rapporto fra la superficie del cubo e quella del reticolo è 3/4.

1. Qual è il.rapporto fra la superficie del parallelepipedo e quella del reticolo?
2. Qual è il rapporto fra la superficie del cubo e quella del parallelepipedo?

La superficie del parallelepipedo è di 40 triangolini su 64 dell'intero reticolo, quindi il rapporto fra la superficie del parallelepipedo e quella del reticolo è 5/8.